definición de las Integrales

 La integración   es la suma continua de la varía ión de una función ión f (x) sobre un intervalo de la variable x.

Es el proceso inverso de la derivación y su resultado se llama integral de f (x)  con respecto a x. Sea y = f (x) una función  continua,real y definida en un intervalo  (a,b). Se trata de hallar el área limitada por el trazo de f (x),el eje de las abcisas, y los puntos de las cordenadas (a0)(b0).

Por ejemplo esta grafica nos presenta la integral  en el intervalo de o a 6.

Esta grafica se presenta   con la integral f (x) entre los dos puntos a y b.

Integral f (x)dx = 1/2 x^2|0  a  6

1/2 (6)^2-1/2 (0)^2 = 36/2-0

Integral= 18

Ejercicios

Tabla de  las Integrales 

Ejemplos y definición de las Derivadas

 Las derivación es un procesó para averiguar en que proporción se incrementa una cantidad variable respecto de otra.
Sean x,y dos variables  relacionadas ionadas por la  y = f (x),en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores x.
Las Derivadas también se utilizan en ffísica para hallar la velocidad, aceleración y distancia.

Observando la grafica y=f (x),podemos concluir que la derivada de una función es un punto en la  tangente  del ángulo que forma que forma la curva con el eje de las abscisas.

  Derivadas  Sucesivas
Dada una función f (x),su derivada f'(x),se puede conciderar como una nueva función, la cual a su vez puede generar una derivada y''=(x),y así sucecivamente.

Ejemplo:

y = x^2
y '= 2x
y'' = 2

Fórmulas de las Derivadas 

d (x)/dx = 0

d (x)/dx = 1

dy/dx  = 1/dy/dx

d (a^n)/dx = a^n ln a dv/dx

d(x^n)/dx = nx^n-1

d (e^n)/dx = e^n dv/dx


Derivada de polinomios 

F (x) = 2x^2 + 3x + 7

Para encontrar la primera derivada multiplicamos 2×2 que nos da 4 y 3×1 que nos da 3 y el 7 no se marca porque da 0.

F'(x) = 4x + 3

Para la segunda derivada  Multiplicamos 4 x 1.

F "(x) = 4

Ejercicios para practicar

1-F (x) = -6x^8
F'(x) =?
F"(x)=?
F'''(x)=?
2-F (x)= -9x^5 +9x^3 + 5x^2 -6x +9
F' (x)= ?
F"(x) =?
F'''(x) =?

Operaciones de números complejos

Adición  de los complejos

La adición de números  complejos se realiza sumando las Partes reales e imaginarias por separado.

Ejemplos:

a + bi  y c - di se suman las Partes reales e a y c ,luego b menos d,el resultado será   ac + bdi.

(8 + 8i) + (9 + 3i)

=(8+9) +(8+3)i

=17 +11i

Sustracción de los complejos 

Para la sustración  es lo mismo que para la adición.

Ejemplo:

8 + 8i) - (9 + 3i)

=(8-9) -(8-3)i

=-1-11i

Módulo  de un complejo

Si z = a + bi

Su valor absoluto o módulo  de z es:

|z |= raíz (a^2 + b^2)

Ejemplo:

a = 2 , b =3 

|z |=   √(2^2 + 3^2)

        =     √ (4+9)

       =     √ (13)

 

Mutiplicación  de complejos 

La multiplicación  de números complejos  se basa en i-i = -1.

La regla para la multiplicación  es la siguiente:

(a + bi). (c + di) = (ac-bd)+(ad + bc)i

(2 + 3)

Ejemplos y definición de Trigonometría

La Trigonometría las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo  por medio de las funciones trigonométricas de los ángulos;seno,coseno y tangente y sus inversos secante,cosecante y cotangente.


Funciones  trigonométricas 

Las base de la trigonometría son los valores numéricos  que se asocian a cada ángulo,que permite  relacionarlo operativamente  los ángulos  y lados de los triangulos.


Triángulo Rectangulo

La función de estos triángulos  se componen de una manera diferente  a los demás triángulos  por poseer ángulo agudos.

Ejemplo:

Seno
Es el cociente  entre el cateto opuesto del ángulo  y  la hipotenusa.

Sen B = op/h

Sen C = ady/h

Coseno
Es el conciente entre el cateto adyacente  y el cateto opuesto.

Cos B = ady/h

Cos C = op/h

Tangente
Es el conciente entre el cateto opuesto  del ángulo  y el cateto adyacente.

Tan B =   op/ady

Tan C = ady/op

Cotangente
 Es el conciente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

Cot B = ady/op

Cot C = op /ady

Secante
Es el cociente entre la hipotenusa  y el  cateto adyacente al ángulo.

Sec B = h/ady

Sec C = h/op

Cosecante
Es el conciente entre la  hipotenusa y el cateto opuesto.

Csc B = h/op

Csc  C = h/ady

Resolución  de triángulos

Podemos averiguar los elementos  desconocidos a partir de otrosconocidos.Por ejemplo  si conocemos la hipotenusa y un ángulo,se puede calcular el cateto  opuesto.

Sen C = ady/h

Despejamos cateto adyacente

ady =  h.Sen C


Si se conocen los dos catetos:

h = √ a^2 + c ^2


Tan B = b/c


C = 90grados - B


Conociendo  un Cateto (c) y la hipotenusa (a) que serian:

b =  √ b^2 - c^2


Tag C = c/b


B = 90grados- C


Que se conozcan un Cateto (b) y un ángulo  agudo (C):

c = b . TagC


a = b/Sen B


B = 90grados- C

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Ejemplos y definición de las Matrices

Una matriz  es una tabla rectangular de  números, compuesta por filas y columna donde cada fila de la matriz  representa una ecuación,siendo los   valores de la fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en un orden determindo.

Las matrices  se presentan entre corchetes y paréntesis,no tienen valor numéricos ,las matrices se utilizan tam bien al representar,y resolver,sistemas de ecuaciones simultaneas.Una matriz m×n ,m fila y n columna se representan de la siguiente forma.

      [ a   b   c ]
A= |d    f    g|
      [ h   i     j ]

abc es la primera fila.
dfg  es la segunda fila.
hijo  es  la tercera fila.

adh  es la primera columna.
bfi    es la segunda columna.
 cgj   es la tercera   columna.

Así como los números  las matrices se pueden sumar,restar,multiplicar,pero no son aplicables las leyes de la arítmicas comunes como la asociatva,comutativa etc.


Adición de las matrices

Para obtener  la suma de una matriz del mismo orden.

Ejemplo:

      [ 7   1   4 ]
A= |3   4    2|
      [ 2   6   5 ]


      [ 0  1   5]
B= |6  6   1|
      [ 2  4  5 ]

           [7   2  9  ]
A+B =|9 10  3 |
           [4 10 10]

Resta de matrices

Ejemplo:

      [ 7   1   4 ]
A= |3   4    2|
      [ 2   6   5 ]


      [ 0  1   5]
B= |6  6   1|
      [ 2  4  5 ]


          [ 7    0   -1]
A-B =|-3  -2    1|
          [ 0    2    0]

Mutiplicación de matrices

Las matrices se pueden multiplicar  una A× B y con una contante k, A×k.

Las matrices A y B se pueden multiplicar para formar el producto
 A × B,si el número  de columna de A es igual al número  de fila de B,en cuyo caso se determinan matrices conformes.La cual su multiplicación  no es comutativa:

A×B no es igual B×A

Matriz por un número:


      [ 7   1   4 ]     [14   2   8]
2 ×|3   4    2 | =| 6    8   4|
      [ 2   6   5 ]     [ 4  12 10]

Multiplicación  de dos matrices


[1 2 3 ]     [6   7   ]
[4 5  6] ×  [8    9  ]
                 [10 11 ]

Multiplicamos  fila por columna.

(6 + 16 + 30) = 52     (7 +18+33)=53
(24 + 40 +60)= 124   (28 +45+66) =139

= [ 52      53 ]
   [ 124  139 ]

Determinantes

Para encontrar el determinante de una matriz 3×3  se puede realizar mediante 3 métodos  repitiendo la dos primeras fila o la dos primera columna y Mutiplicación en cruz.

Ejemplo:

Encontrar el determinante de la siguiente matriz 3×3.

 [1  2  3 ]   [ 1 2 3 1 2 ]
|0  3  1 |=| 0 3 1 0 3 |
 [2  4  1 ]   [ 2 4 1  2 4 ] 


=(1×3×1)+(2×1×2)+(4×0×3) -(2×3×3)-(4×1×1)-(1×0×2)

=3+4+0-21-4-0 = 7 -25 = -18

Ejemplos y definición de Ecuaciones e Inecuaciones

Las ecuaciones son la igualdad  donde hay una o varias cantidades  desconocidas llamadas  incógnita la cual sólo es verdaderas para algunos valores de las incógnitas.

La igualdad es cuando dos expresiones  algebraicas  tienen el mismo valor.

Ejemplo:

a = b + c

3x^2 = 4x + 15

Las incógnitas  se representan por las últimas  letras del alfabeto x,y,z.

Las ecuaciones se definen según su grado,el cual es el mayor exponente de la incógnita.

Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de  primer grado de la Forma ax +b=c,donde a y b pertenecen  a los Reales y  a  es diferente de cero.

Ejemplo:

x - 5 = - 8

Pasamos todos los términos al lado izquierdo con el signo contrario:

x -5+8=0

x + 3 =0

x = -3/1 = -3

Ecuación de forma fracionaria

En estas ecuaciones encontramos dos casos.

1-los denominadores son cantidades numéricas.

Ejemplo:

x-2/5 = 2/5

Multiplicamos por e m.c.m:

5(x-2/5) = 5(2/5)

5x -10/5 = 10/5》x-10 = 2

x = 2 +10 = 12

2-los denominadores son incógnitas

Ejemplo:

x-2/5 =2x/5

Multiplicamos por e m.c.m:

5(x-2/5) = 5(2x/5)

5x -10/5 = 10x/5》x-10 = 2x

 -10 = 2x - x

 -10 = x


Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 

La ecuación  de segundo grado o cuadratica tienen el origen en un polinomio donde el mayor exponente de la variable son dos.

ax^2 +bx+c

Ejemplo :

x^2 - 2x - 8

= (x - 4)(x+2) = 0

x = 4 , x =2.


Las Inecuaciones  son desigualdades que se originan en las relaciones de orden para dos números  diferentes.

Ejemplos:

7x -5 < 16

7x -5 +5 < 16 + 5

7x < 21

7x/7 < 21/7

x =21/7

x = 3

Para aprender ecuaciones  u otros temas de matemáticas  hay que pra tocar mucho.

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Ejemplos y definición de Binomio y Trinomio

Para las expresiones que tienen dos terminos  hay  varios casos.

1- Diferencia de cuadrados
Es cuando los términos son de tistintos signos y se le puede extraer  la raíz cuadrada exacta.

Ejemplo:

X^2- 49

Raíz cuadrada de x^2 = x

Raíz cuadrada de 49 = 7

luego sumamos las raíces y restamos la raíces.
X + 7.    X - 7

X^2- 49 = (x + 7)×(x-7)

2- Suma de cubos.
Cuando los términos tienen el mismos signo,su exponente es tres o múltiplo de tres y podemos encontrar raíz cuadrada exacta.

Ejemplo:

X^3 + 8

Raíz cúbica  de x^3 = x

Raíz cúbica  de  8 =2

Sumamos las Raíces:

(X+2)

Cuadrado de la raiz  del primer término:

X^2

Producto de la raíces:

2x

Cuadrado de la raíz del segundo término:

4

Entoces nos queda así

X^3 + 8 = (x+2)×(x^2-2x+4)


3-Diferencia  de cubos.

Es contrario al caso anterior,cuando los términos tienen signos diferentes,su exponente es tres o múltiplo  de tres  y le podemos  extraer raíz cuadrada exacta.


Ejemplo:

X^3 - 8

Raíz cúbica  de x^3 = x

Raíz cúbica  de  8 = 2

Restamos las Raíces:

(X-2)

Cuadrado de la raiz  del primer término:

X^2

Producto de la raíces:

2x

Cuadrado de la raíz del segundo término:

4

Entoces nos queda así

X^3 - 8 = (x-2)×(x^2+2x+4)

Trinomios


1-Trinomio Cuadrado perfecto.

Para encontrar el Trinomio de Cuadrado perfecto  lo realizamos  de la siguiente forma.

Ejemplo:

6x + x^2 + 9

Ordenamos: x^2 + 6x + 9

El primer y segundo término deben ser positivos y de raíz exacta.

Raíz de X^2=x

Raíz  de 9 = 3

2  veces el producto del primer y segundo termino:
2 (x)(3) = 6x

=x^2 + 6x + 9 = (x + 3 )^2

2-Trinomio de la Forma  x^2 + bx^n + c

Para calcularlo utilizamos esta formula:

x^2 + bx^n + c = (x^n + m)(x^n +m)

Ejemplo:

-66x + x^2 + 1080

Ordenamos:x^2 - 66x +1080

El primer término es positivo y con raíz exacta que es: Raíz  de x^2 = x

La variable del segundo término es la raíz cuadrada del primero : =X

Por lo tanto hallamos m y m sumamos 66 y múltiplicado 1080:

=x^2 - 66x +1080=(x-m)(x-m)
36 + 30=66,66×30=1080

m=36,m=30

x^2 - 66x +1080=(x-36)(x-30)

3-Trinomio de la Forma ax^2n+bx^n+c

Formula: 
ax^2n+bx^n+-c =a(ax^2n+bx^n+c)
                                            a
-Debe tener un orden descendente.
-El primer término debe ser positivo diferente de uno con raíz  exacta.
-En el segundo término la parte literal debe ser la raíz  cuadrada del primer termino.

Ejemplo:3x^2-4x-15

3 (3x^2-4x-15)
          3
=9x^2-4(3x)-45
              3

=(3x^2 -4 (3x)-45
                 3
             

 =(3x+ m)(3x+m)
                3
=(3x-9)(3x+5)
            3

=3 (x-3)(3x+5)
             3

=3x^2-4x-15=(x-3)(3x+5)

4-Combinación de  casos

En alguna ocasión  se no pide resolver una ecuación que requiere varios casos a la vez.
Ejemplo :

4x^3-x

Aplicamos factor común:

4x^3-x=x (4^2-1)

Y me queda una diferencia de cuadrados:

=x (2x+1)(2x-1)


Para poder comprender la matemáticaS y cuar quier ejercicio se necesita practicar mucho.

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