Ejemplo y definicion de las Propiedades de los Enteros

 Propiedad de la adición

 Las propiedades de los Enteros son parecias a las propiedades de los naturales con execion de una nueva  que es la  invertiva.

1- Conmutatíva:el orden de los factores no altera el resultado.

Ejemplo:

a + b = b + a

(-5) +(3) = (3) + (-5)

 2-Asociativa: las diferentes asociaciones no altera los resultados.

Ejemplo :

a + (b + c) = (a + b) + c

5 + (-3+2) = (5 +(-3)) + 2

3-Clausurativa: la suma de dos o más enteros es otro entero.
Ejemplo:

a + b = c

-7 + 5 = -2

4-Modulativa: todo número  que se le sume cero el resultado es el mismo.

Ejemplo:

a + 0 = a

6 + 0 = 6

5-Invertiva:la suma de los Enteros con su inverso siempre da cero.

Ejemplo :

-a + a = a  + (-a) = 0

-6 + 6 = 0



Propiedades  de la multiplicación 

Las propiedades de la multiplicación  son las misma que la adición  y otra adicional,la distributiva y cumplen  todas las propiedades.

1- Conmutatíva:el orden de los factores no altera el resultado.
Ejemplo:
(a) ×(b) = (b) × (a)

(-5) ×(3) = (3) × (-5)

 2-Asociativa: las diferentes asociaciones no altera los resultados.

Ejemplo :

a × (b ×c) = (a × b) × c

5 × (-3×2) = (5 ×(-3)) × 2

3-Clausurativa: el producto dos o más enteros es otro entero.

Ejemplo:

a × b = c

-7  × 5 = -35

4-Modulativa: todo número  que se le multiplique   uno el resultado es el mismo  valor.

Ejemplo:

a  × 1 = a

6 × 1 = 6

5-Distributiva : la distribución de los valores no altera el resultado.

Ejemplo :

a(b+c) = (a×b) + (a×c)

a(b-c) = (a×b) - (a×c)

2(3+4) = (2×3) + (2×4)

2(3-4) = (2×3) - (2×4)

Ejemplo y definicion de os Números Enteros

Los números  enteros  son la unión entre números  naturales positivos y números  con sus opuestos y el cero,este se representa por la letra Z.

Todos los números  enteros se componen  de  signos negativos,positivo y los números  naturales.
Ejemplos:

-3,-2,-1,0,+1,+2,+3

Las operaciones de los  números  enteros

La adición 
Para sumar números  entero se suman los números  con sus signos delante.
Ejemplos:

(+9)+(+6) = |+9|+|6|=15


(+55)+(+45) =|+55|+|+45|=100

Para la suma de los negativos se suman los valores y se le coloca el signo negativo delante.

Ejemplo:

(-9)+(-6)= |-9|+|-6|= -(9+6) = -15


(-55)+(-45) =|-55|+|-45|=-100

Para sumar números  enteros de signo diferente se le pone el signo de  el valor mayor.
Ejemplo:

(-9)+(+6) = |-9|+|+6| = -9 +6= -3

(+9)+(-6) = |+9|+|-6| =  +9 -6= 3

La Sustracción

La sustración de números  enteros es de la misma forma que los números  naturales.Pueden ser tantos como positivos o negativos y el monumento mayor o menor que el sustraendo.

Ejemplo:

a - b = a + (-b)


Para restar dos números  positivos se le al minuendo se le suma el opuesto del sustraendo.

(+6)  - (+7) = (+6) + (-7) = -1



Para restar dos números  negativos  le su sumamos al minuendo el opuesto de sustraendo  y se agrega el signo del valor mayor.

Ejemplos :


(-12) - (-8) = (-12)  + (+8) = - 4

Para restar los números enteros con signos contrarios debemos sumarle  al minuendo el opuesto del sustraendo y le colocamos el signo de la cantidad mayor.

Ejemplo:

(-14) -( +5) = (-14) + (-5) = -19


La multiplicación

En la multiplicacion  de números enteros  se deben tener en cuenta las reglas de los signos la cuales establecen que los signos iguales dan positivos y los signos opuestos dan negativo.

Regla de los signos

+ × + = +
 - ×  - = +
 + × - =  -
  - × + = -

Para encontrar el producto  de dos numetos pisitivos seguimos la rgla de los signo y luego multiplicamos los valores.

Ejemplo:

(+5) × (+2) = +(5×2) = 10


Para encontrar  el producto de  dos o más números  negativos primero debemos usar la reglas de los signos.
Ejemplo:

(-2) × (-5) =  -10


(-3)× (-2) × (-5) = (-3)× (-5) = +15 = (+15 ) × (-5) = -75

Para encontrar el  producto de  dos números con signos diferentes  aplicamos la reglas de los signos y luego multiplicamos.

Ejemplo:

(5) × (-3) = (+5)×(-3) = -15


La división 

Para hacer la división de dos números enteros, utilizamos la reglas de los signos y luego  dividimos.

Ejemplo:
Número  positivos, resultado positivo.

(15) ÷ (3) = 5

Números  negativo, resultado positivo.

(-15) ÷ (-3) = 5

Números  negativos y positivos,resultado negativo.

(-15) ÷ (+3) = -5

(+15) ÷ (-3) =  -5

Ejemplo y definiciones de las Propiedades de los Logaritmos

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La base de los logaritmos no puede ser un número  negativo, porque los números positivos  no tendrían logaritmo en ficha base. Ejemplos:

Si se toma  base -10, el número  10 no tendría logaritmo en dicha base por no existir un número n. (-10)^n=10.

  No existe logaritmos de números  negativos porque la base siempre es un número  positivo,todas sus potencias pares e impares son positivas nunca negativas.El logaritmo de la base siempre es igual a la unidad.El logaritmo de la unidad es ceri, porque a^0 = a.

Los números  mayores que la unidad  tienen logaritmos positivos.

Los números  menores que la unidad  tienen números negativos.

1- Logaritmo de un producto.

 Para encontrar el producto de un logaritmo sumamos los exponentes de los factores.Ejemplo:

Log (A×B) = Log A + Log B

2-Logaritmo   de un conciente.

 Para encontrar el conciente restamos el logaritmo del dividendo menos el logaritmo  del divisor.Ejemplo:

Log A/B = Log A  -  Log B

3-Logaritmo de una Potencia.El exponente se multiplica por el logaritmo de la base. Ejemplos:

Log A^n = n (Log A)

4- Logaritmo de una raíz. Es la división del radicando por el índice de la raiz.Ejemplo:

Log √A = Log A/n.

Los logaritmos  tiene algunas propiedades particularesunicos  

1-La potencia de 10 son los únicos   número  cuyo logaritmos son números enteros.

Log 1 = 0, Log 10 = 1,Log 100 = 2

2- Todo números  con potencias diferentes  de 10 tendrá como logaritmo una fracción  propia ,o un entero más una fracción propia.

Log 25 =  1+0.3979 = 1.3979.

Ejemplo y definicion de las Propiedades de la Radicación

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Entre las propiedades de la radicación se encuentran las siguientes:

1-Para la adición: la cual no cumple las propiedades.Ejemplo:

√a+b no es igual   √a + √b

√5 + 10 no es igual  √5  +  √10

2- Para la Sustracción: La cual no cumple las propiedades.Ejemplo 

√a-b no es igual   √a - √b

√5  - 10 no es igual  √5  -  √10

3-Para la multiplicación: para la multiplicación si  se cumplen las propiedades.Ejemplo:

√a.b  =   √a . √b

√9 . 25 = √9.√50

4-Para la división: si se cumplen las propiedades.Ejemplo:

√a ÷ b  =   √a  ÷ √b

√25 ÷ 5= √25 ÷ √5

5-Para  la Raíz de raíz. Ejemplos:

√√  a  =   √a 

√√81 = Raíz cuarta √ 81

 Si el índice es 2  no se coloca en el radical

Ejemplo y definicion de las Propiedades de la Potenciación

Propiedad de la Potenciación

1-Producto de potencias de bases iguales.

Para multiplicar potencia de base iguales se suman los exponente y  se deja la misma base.Ejemplo:

5^3 × 5^4 × 5^2 = 5^3+4+2 =5^9

2- Conciente de potencias de bases iguales.Para dividir potencia de base iguales se restan los exponentes y se deja la misma base.Ejemplo:

5^4 + 5^2= 5^ 4-2 = 5^2

Al dividir potencias de bases iguales en agua momento el exponente puede dar negativo,cuando eso sucede la potencia es igual a la unidad dividida.Ejemplo:

8^4 .÷ 8^8 = 8^4-8 = 4^-4  

Entonces esto es igual

1 ÷ 4^4 = 1 ÷ 256

3- Exponente cero.Cuando las potencias son de base y exponentes iguales el resultado siempre es 1 y  todo número natural   diferente de cero elevado al exponente cero,es siempre 1.Ejemplo:

5^2 ÷5^2 = 5×5 ÷ 5×5 = 25 ÷ 25 = 1

Utilizando  la propiedad del Conciente

5^4 ÷ 5^4 = 5^4-4 = 5^0 =1

4-(abc)^n = a^n. b^n.c^n

Ejemplo: (2.1.3)^2 = 2^2.1^2.3^2 = (4)(1)(6) =24

5- (x/y)^n = x^n/y^n

Ejemplo:

(3/5)^2 = 3^2/5^2 = 3×3/5×5 = 9/25

6- (a^n)^m = a^m.n

Ejemplo:

(5^2)^3 = 5^6 = 5.5.5.5.5.5 =15226

7-(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Ejemplo:

(2 +3)^2 = 2^2+ 2(2)(3) +3^2 =4+12+9 =25

8-(a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Ejemplo:

(2 -3)^2 = 2^2- 2(2)(3) +3^2 =4-12+9 = 1

9-(a +b)^3= a^2 + 2a^2b + 2ab^2+b^3

Ejemplo:

(2 +3)^3 = 2^3+ 2(2)^2(3) +2 (2)(3)^2 + 3^3=8+24+36+9 = 77

10-(a +b)^3= a^2 - 2a^2b + 2ab^2 - b^3

Ejemplo:

(2 +3)^3 = 2^3- 2(2)^2(3) +2 (2)(3)^2 -3^3=8-24+36-9 = 60

Ejemplo y definicion de la división y sus propiedades

Las propiedades de la división no se cumplen,para la comutativa,la asociativa,laclausurativa  y modulativa solo se cumple para la propiedad distributiva.

1-Comutativa: de  la cual  el orden  si altera el resultado.Ejemplo:

a ÷ b no es igual b ÷ a

12 ÷ 18 no es igual 18 ÷12

685 ÷ 467 no es igual 467  ÷  685

2- Asociativa: las diferentes  asociasiones de los números  si altera el resultado.Ejemplo:

a ÷ ( b ÷ c) no es igual (a ÷ b) ÷ c

4  ÷( 9 ÷ 6 ) no es igual (4 ÷ 9 ) ÷ 6

564 ÷ ( 475 ÷ 8642 ) no es igual (564 ÷475 ) ÷ 8642 

3-  Clausurativa: la división   de dos o más naturales no es otro natural.Ejemplo.

7 ÷ 8 

no da en el conciente un número natural.

4- Modulativa: no se cumple.Ejemplo:

8 ÷ 1 no es igual  1÷ 8

0 + a = a

 5- Distributiva para la adición. Ejemplo:

(a ÷ b) ÷ c =( a ÷ b ) + (b ÷ c)

6-Distributiva  para la sustracción.Ejemplo:

(a ÷ b) ÷ c =( a ÷ b ) - (b ÷ c)

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Ejemplo y definicion de la Multiplicación y sus propiedades

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En la multiplicación  se cumplen las mismas propiedades que en la suma,más otra exclusiva  de ella la distributiva.

1-Comutativa: de  la cual  el orden  no altera el resultado.Ejemplo:

a × b = b × a

12 × 18 = 18 × 12

685 × 467 = 467  ×  685

2- Asociativa: las diferentes  asociasiones de los números  no altera el resultado.Ejemplo:

a × ( b × c) = (a × b) × c

4  × ( 9 × 6 ) = (4 × 9 ) × 6

564 × ( 475 × 8642 ) = (564 × 475 ) × 8642 

3-  Claursurativa: la multiplicación  de dos o más naturales es otro natural.Ejemplo.

a × b = c

7 × 8 = 56

2 × 30  = 60

4- Modulativa: todo número natural que se le sume cero el resultado es el mismo numero.Ejemplo:

a + 0 = a

0 + a = a

 5- Distributiva para la adición. Ejemplo:

a (b + c) = a × b + a × c

5 (7+9) = 5×7 + 5× 9

6-Distributiva  para la sustracción.Ejemplo:

a (b - c) = a × b - a × c

5 (7-9) = 5×7 - 5× 9

Ejemplos y definición de las propiedades de la adición y sustracción

 

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 Las propiedades  de la adición    nos demuestra que se  cumplen todas las propiedades en la suma.

Entre las propiedades de la suma se encuentran la siguientes.

1-Comutativa: de  la cual  el orden de los sumando no altera el resultado.Ejemplo:

a + b = b + a

12+ 18 = 18 +12

685 + 467 = 467  + 685

2- Asociativa: las diferentes  asociasiones de los sumando no altera el resultado.Ejemplo:

a + ( b + c ) = (a + b) + c

4  + ( 9 + 6 ) = (4 + 9 ) + 6

564 + ( 475 + 8642 ) = (564 +  475 ) + 8642 

3-  Claursurativa: la suma de dos o más naturales es otro natural.Ejemplo.

a + b = c

7 + 8 = 15

2000 + 3000  = 5000

4- Modulativa: todo número natural que se le sume cero el resultado es el mismo numero.Ejemplo:

a + 0 = a

0 + a = a

8 + 0 = 8

368854 + 0 = 368854

 La Sustracción 

 Las propiedades  de la sustracción    no se cumple al igual que en la adición   porque cuando se cambia el orden de los factores se altera el resultado por tanto no se cumple en las propiedades comutativa,Asociativa y modulativa.

Entre las propiedades de la sustracción encuentran la siguientes.

1-Comutativa: en la  cual  el orden de los sumando  si altera el resultado.Ejemplo:

a - b  No Es Igual   b - a

12  - 18 = -6

 18 +12 = 6

2- Asociativa: las diferentes  asociasiones de los sumando  si altera el resultado.Ejemplo:

a  - ( b  - c  ) no es igual  (a - b) - c

4  - ( 9  - 6 )  no es igual (4  - 9 )  - 6

3-  Claursurativa: La  resta de dos o más naturales es otro natural.Ejemplo.

a + b = c

7 + 8 = 15

2000 + 3000  = 5000

4- Modulativa: todo Unúmero natural que se le sume cero  si cambia el  resultado.Ejemplo:

a - 0 = a

0 - a = -a

8  - 0 = 8

0 - 8= -8

Ejemplos y definicion de La Aritmética

La Aritmética  es la ciencia de las matemáticas  que  se encarga de estudiar los números   naturales y reales positivos.

La operaciones que pertenecen a la Aritmética son  siete.

1-Suma o adición. 

Se define como una operación binaria donde a,b por medio del operador +,se combierte en a+b, los  cuales pertenecen a los números naturales.Ejemplo :

a+b= n

5+6=11

1050+500=1550

2-Resta o Sustracción.Se define como una operación binaria donde a,b por medio del operador -,se combierte en

 a-b, los  cuales pertenecen a los números naturales.Ejemplo :

a-b= n

20-15=5

5000 - 4000 =1000

3-Multiplicación.Se define como una operación binaria donde a,b por medio del operador ×,se combierte en a×b, los  cuales pertenecen a los números naturales.Ejemplo :

a×b= n

13×13=169

10×17= 170

4- División.Es la operacion inversa a la multiplicacion donde se pide hallar un factor,veamos a,b por medio del operador ÷,se combierte en a÷b, los  cuales pertenecen a los números naturales.Ejemplo :

a÷b= n

100÷100=1

1800÷60= 30

5-Potenciación.Se define como la operación donde se multiplica sucesivas un número o expresión por si misma. Ejemplo :

7×7×7=343

7^3=343

4×4×4×4×4=1024

4^5=1024

6-Radicación.Es la operacion inversa a la potenciación ,que consiste en buscar un número natural que al multiplicarlo por si mismo determinada veces como lo indique el índice de la raíz de como resultado el radicando.Ejemplo:

Raíz 3 de 343 = 7

Raíz 5 de 1024 = 4

7-Logaritmacion.Es el exponente al que hay que elevar un numero denominado base para o tener el numero deceado.Ejemplo:

Log5 125 =3  porque 5^3=125

Log2 8=3 porque 2^3 =8

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