Operaciones de números complejos

Adición  de los complejos

La adición de números  complejos se realiza sumando las Partes reales e imaginarias por separado.

Ejemplos:

a + bi  y c - di se suman las Partes reales e a y c ,luego b menos d,el resultado será   ac + bdi.

(8 + 8i) + (9 + 3i)

=(8+9) +(8+3)i

=17 +11i

Sustracción de los complejos 

Para la sustración  es lo mismo que para la adición.

Ejemplo:

8 + 8i) - (9 + 3i)

=(8-9) -(8-3)i

=-1-11i

Módulo  de un complejo

Si z = a + bi

Su valor absoluto o módulo  de z es:

|z |= raíz (a^2 + b^2)

Ejemplo:

a = 2 , b =3 

|z |=   √(2^2 + 3^2)

        =     √ (4+9)

       =     √ (13)

 

Mutiplicación  de complejos 

La multiplicación  de números complejos  se basa en i-i = -1.

La regla para la multiplicación  es la siguiente:

(a + bi). (c + di) = (ac-bd)+(ad + bc)i

(2 + 3)

Ejemplos y definición de Trigonometría

La Trigonometría las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo  por medio de las funciones trigonométricas de los ángulos;seno,coseno y tangente y sus inversos secante,cosecante y cotangente.


Funciones  trigonométricas 

Las base de la trigonometría son los valores numéricos  que se asocian a cada ángulo,que permite  relacionarlo operativamente  los ángulos  y lados de los triangulos.


Triángulo Rectangulo

La función de estos triángulos  se componen de una manera diferente  a los demás triángulos  por poseer ángulo agudos.

Ejemplo:

Seno
Es el cociente  entre el cateto opuesto del ángulo  y  la hipotenusa.

Sen B = op/h

Sen C = ady/h

Coseno
Es el conciente entre el cateto adyacente  y el cateto opuesto.

Cos B = ady/h

Cos C = op/h

Tangente
Es el conciente entre el cateto opuesto  del ángulo  y el cateto adyacente.

Tan B =   op/ady

Tan C = ady/op

Cotangente
 Es el conciente entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.

Cot B = ady/op

Cot C = op /ady

Secante
Es el cociente entre la hipotenusa  y el  cateto adyacente al ángulo.

Sec B = h/ady

Sec C = h/op

Cosecante
Es el conciente entre la  hipotenusa y el cateto opuesto.

Csc B = h/op

Csc  C = h/ady

Resolución  de triángulos

Podemos averiguar los elementos  desconocidos a partir de otrosconocidos.Por ejemplo  si conocemos la hipotenusa y un ángulo,se puede calcular el cateto  opuesto.

Sen C = ady/h

Despejamos cateto adyacente

ady =  h.Sen C


Si se conocen los dos catetos:

h = √ a^2 + c ^2


Tan B = b/c


C = 90grados - B


Conociendo  un Cateto (c) y la hipotenusa (a) que serian:

b =  √ b^2 - c^2


Tag C = c/b


B = 90grados- C


Que se conozcan un Cateto (b) y un ángulo  agudo (C):

c = b . TagC


a = b/Sen B


B = 90grados- C

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Ejemplos y definición de las Matrices

Una matriz  es una tabla rectangular de  números, compuesta por filas y columna donde cada fila de la matriz  representa una ecuación,siendo los   valores de la fila los coeficientes de las distintas variables de la ecuación, en un orden determindo.

Las matrices  se presentan entre corchetes y paréntesis,no tienen valor numéricos ,las matrices se utilizan tam bien al representar,y resolver,sistemas de ecuaciones simultaneas.Una matriz m×n ,m fila y n columna se representan de la siguiente forma.

      [ a   b   c ]
A= |d    f    g|
      [ h   i     j ]

abc es la primera fila.
dfg  es la segunda fila.
hijo  es  la tercera fila.

adh  es la primera columna.
bfi    es la segunda columna.
 cgj   es la tercera   columna.

Así como los números  las matrices se pueden sumar,restar,multiplicar,pero no son aplicables las leyes de la arítmicas comunes como la asociatva,comutativa etc.


Adición de las matrices

Para obtener  la suma de una matriz del mismo orden.

Ejemplo:

      [ 7   1   4 ]
A= |3   4    2|
      [ 2   6   5 ]


      [ 0  1   5]
B= |6  6   1|
      [ 2  4  5 ]

           [7   2  9  ]
A+B =|9 10  3 |
           [4 10 10]

Resta de matrices

Ejemplo:

      [ 7   1   4 ]
A= |3   4    2|
      [ 2   6   5 ]


      [ 0  1   5]
B= |6  6   1|
      [ 2  4  5 ]


          [ 7    0   -1]
A-B =|-3  -2    1|
          [ 0    2    0]

Mutiplicación de matrices

Las matrices se pueden multiplicar  una A× B y con una contante k, A×k.

Las matrices A y B se pueden multiplicar para formar el producto
 A × B,si el número  de columna de A es igual al número  de fila de B,en cuyo caso se determinan matrices conformes.La cual su multiplicación  no es comutativa:

A×B no es igual B×A

Matriz por un número:


      [ 7   1   4 ]     [14   2   8]
2 ×|3   4    2 | =| 6    8   4|
      [ 2   6   5 ]     [ 4  12 10]

Multiplicación  de dos matrices


[1 2 3 ]     [6   7   ]
[4 5  6] ×  [8    9  ]
                 [10 11 ]

Multiplicamos  fila por columna.

(6 + 16 + 30) = 52     (7 +18+33)=53
(24 + 40 +60)= 124   (28 +45+66) =139

= [ 52      53 ]
   [ 124  139 ]

Determinantes

Para encontrar el determinante de una matriz 3×3  se puede realizar mediante 3 métodos  repitiendo la dos primeras fila o la dos primera columna y Mutiplicación en cruz.

Ejemplo:

Encontrar el determinante de la siguiente matriz 3×3.

 [1  2  3 ]   [ 1 2 3 1 2 ]
|0  3  1 |=| 0 3 1 0 3 |
 [2  4  1 ]   [ 2 4 1  2 4 ] 


=(1×3×1)+(2×1×2)+(4×0×3) -(2×3×3)-(4×1×1)-(1×0×2)

=3+4+0-21-4-0 = 7 -25 = -18

Ejemplos y definición de Ecuaciones e Inecuaciones

Las ecuaciones son la igualdad  donde hay una o varias cantidades  desconocidas llamadas  incógnita la cual sólo es verdaderas para algunos valores de las incógnitas.

La igualdad es cuando dos expresiones  algebraicas  tienen el mismo valor.

Ejemplo:

a = b + c

3x^2 = 4x + 15

Las incógnitas  se representan por las últimas  letras del alfabeto x,y,z.

Las ecuaciones se definen según su grado,el cual es el mayor exponente de la incógnita.

Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de  primer grado de la Forma ax +b=c,donde a y b pertenecen  a los Reales y  a  es diferente de cero.

Ejemplo:

x - 5 = - 8

Pasamos todos los términos al lado izquierdo con el signo contrario:

x -5+8=0

x + 3 =0

x = -3/1 = -3

Ecuación de forma fracionaria

En estas ecuaciones encontramos dos casos.

1-los denominadores son cantidades numéricas.

Ejemplo:

x-2/5 = 2/5

Multiplicamos por e m.c.m:

5(x-2/5) = 5(2/5)

5x -10/5 = 10/5》x-10 = 2

x = 2 +10 = 12

2-los denominadores son incógnitas

Ejemplo:

x-2/5 =2x/5

Multiplicamos por e m.c.m:

5(x-2/5) = 5(2x/5)

5x -10/5 = 10x/5》x-10 = 2x

 -10 = 2x - x

 -10 = x


Ecuaciones de segundo grado con una incógnita 

La ecuación  de segundo grado o cuadratica tienen el origen en un polinomio donde el mayor exponente de la variable son dos.

ax^2 +bx+c

Ejemplo :

x^2 - 2x - 8

= (x - 4)(x+2) = 0

x = 4 , x =2.


Las Inecuaciones  son desigualdades que se originan en las relaciones de orden para dos números  diferentes.

Ejemplos:

7x -5 < 16

7x -5 +5 < 16 + 5

7x < 21

7x/7 < 21/7

x =21/7

x = 3

Para aprender ecuaciones  u otros temas de matemáticas  hay que pra tocar mucho.

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Ejemplos y definición de Binomio y Trinomio

Para las expresiones que tienen dos terminos  hay  varios casos.

1- Diferencia de cuadrados
Es cuando los términos son de tistintos signos y se le puede extraer  la raíz cuadrada exacta.

Ejemplo:

X^2- 49

Raíz cuadrada de x^2 = x

Raíz cuadrada de 49 = 7

luego sumamos las raíces y restamos la raíces.
X + 7.    X - 7

X^2- 49 = (x + 7)×(x-7)

2- Suma de cubos.
Cuando los términos tienen el mismos signo,su exponente es tres o múltiplo de tres y podemos encontrar raíz cuadrada exacta.

Ejemplo:

X^3 + 8

Raíz cúbica  de x^3 = x

Raíz cúbica  de  8 =2

Sumamos las Raíces:

(X+2)

Cuadrado de la raiz  del primer término:

X^2

Producto de la raíces:

2x

Cuadrado de la raíz del segundo término:

4

Entoces nos queda así

X^3 + 8 = (x+2)×(x^2-2x+4)


3-Diferencia  de cubos.

Es contrario al caso anterior,cuando los términos tienen signos diferentes,su exponente es tres o múltiplo  de tres  y le podemos  extraer raíz cuadrada exacta.


Ejemplo:

X^3 - 8

Raíz cúbica  de x^3 = x

Raíz cúbica  de  8 = 2

Restamos las Raíces:

(X-2)

Cuadrado de la raiz  del primer término:

X^2

Producto de la raíces:

2x

Cuadrado de la raíz del segundo término:

4

Entoces nos queda así

X^3 - 8 = (x-2)×(x^2+2x+4)

Trinomios


1-Trinomio Cuadrado perfecto.

Para encontrar el Trinomio de Cuadrado perfecto  lo realizamos  de la siguiente forma.

Ejemplo:

6x + x^2 + 9

Ordenamos: x^2 + 6x + 9

El primer y segundo término deben ser positivos y de raíz exacta.

Raíz de X^2=x

Raíz  de 9 = 3

2  veces el producto del primer y segundo termino:
2 (x)(3) = 6x

=x^2 + 6x + 9 = (x + 3 )^2

2-Trinomio de la Forma  x^2 + bx^n + c

Para calcularlo utilizamos esta formula:

x^2 + bx^n + c = (x^n + m)(x^n +m)

Ejemplo:

-66x + x^2 + 1080

Ordenamos:x^2 - 66x +1080

El primer término es positivo y con raíz exacta que es: Raíz  de x^2 = x

La variable del segundo término es la raíz cuadrada del primero : =X

Por lo tanto hallamos m y m sumamos 66 y múltiplicado 1080:

=x^2 - 66x +1080=(x-m)(x-m)
36 + 30=66,66×30=1080

m=36,m=30

x^2 - 66x +1080=(x-36)(x-30)

3-Trinomio de la Forma ax^2n+bx^n+c

Formula: 
ax^2n+bx^n+-c =a(ax^2n+bx^n+c)
                                            a
-Debe tener un orden descendente.
-El primer término debe ser positivo diferente de uno con raíz  exacta.
-En el segundo término la parte literal debe ser la raíz  cuadrada del primer termino.

Ejemplo:3x^2-4x-15

3 (3x^2-4x-15)
          3
=9x^2-4(3x)-45
              3

=(3x^2 -4 (3x)-45
                 3
             

 =(3x+ m)(3x+m)
                3
=(3x-9)(3x+5)
            3

=3 (x-3)(3x+5)
             3

=3x^2-4x-15=(x-3)(3x+5)

4-Combinación de  casos

En alguna ocasión  se no pide resolver una ecuación que requiere varios casos a la vez.
Ejemplo :

4x^3-x

Aplicamos factor común:

4x^3-x=x (4^2-1)

Y me queda una diferencia de cuadrados:

=x (2x+1)(2x-1)


Para poder comprender la matemáticaS y cuar quier ejercicio se necesita practicar mucho.

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Ejemplo y definición de Polinomios

Los Polinomios están formados por más de un término, separados por signos positivos o negativos,  y usando a los demás signos.

7x,-8y,y,x/y^5

Las operaciones que se presenytan son las mismas y se denominan operaciones con polinomios.

Operaciones con polinomios

Adición o suma

Es una operación que tiene una  o más  expresiones  algebraicas en una sola expresión. Para sumar dos o más polinomios se realiza de la sigue manera:

Ejemplo :

x-y;8x^2 +x^4-4y^3;2x^4+y^3 +z

Se ordena los polinomios de forma acendente o descentes teniendo en cuenta los términos semejantes.


                     x              -y
  x^4+8x^2      -4y^3
2x^4                 +y^3        +z
3x^4+8x^2 +x-3y^3  -y  +z



Sustracción o  resta

Esta operación tiene como finalidad hallar la diferencia entre la suma de dos factores denominados minuendo y sustraendo.


Ejemplo:


8x^2 +x^4-4y^3;-2x^4+y^3 +z

Se ordena los polinomios de forma acendente o descentes teniendo en cuenta los términos semejantes.Cambiamos el signo de los sustraendo.



  x^4+8x^2   -4y^3
-2x^4              -y^3  -z
-x^4+8x^2    -5y^3  -z


Multiplicación

Se multiplican las dos cantidades multiplicando y multiplicador para encontrar el producto.

Polinomio por monomio

Ejemplo:

-2x^3y;8xy^4z-yz


(-2x^3y) × (8xy^4z-yz)


=(-2x^3y)(8xy^4z) , (-2x^3y) (-yz)

=-16x^4y^5+2x^3y^2z


Polinomio por polinomio


(x+7)(x-4)

=(x×x)(x×-4) (7×x)(7×-4) =x^2-4x +7x-28

-4x+7x=3x

=x^2+3x-28

Conciente de polinomios 



Es una operación que partiendo de dos terminos el dividendo y el divisor podemos hallar el factor llamado conciente.

Ejemplo:

(-x^2 -2x +x^4-1) ÷ (x+1+x^2)

Lo primero es ordenarlo los términos si hacen falta se le completa con cero.
Despues hallamos el conciente del dividendo y el divisor.

x^4+0x^3-x^2-2x-1 | x^2 + x +1  
-x^4- x^3- x^2              x^2-x-1
        -x^3-2x^2-2x
        +x^3+x^2 +x 
                 -x^2-x -1
                +x^2+x+1 
                        0


Factorización

Es la expresión  algebraica  resultante como producto de dos o más expreciones.
Existen  varios tipos de expreciones  que dan como formas distintas de factorizar,lo que permite tener varios casos de Factorización.

Factor comun

Si todos los términos que conforman la expresión  tiene una parte común literal o numericamente.


      X^3 + xy^2                  5x - 9y  + 8


Si el factor es literal:
Seleccionamos el de menor exponente  e indicamos el producto de dos fatores.

               
Ejemplo:

X^2 + xy  = x (x^2-1 +x^1-1y)

= x (x + y)

Si el factor es numérico:
Escogemos el m.c.d de los coeficiente como factor comun,e indicamos el producto de dos factores.

Ejemplo:

3x-6y +12

m.c.d 3,6,12=3

Entoces

3x-6y +12= 3 (3/3x-6/3y+12/3)

=3 (x-2y +4)

Si es literal y numérico:
Tomamos en  cuenta los dos procedimientos.

Ejemplo:

36x^2y^3-24xy^4

Factor comun:12xy^3


36x^2y^3-24xy^4

=12xy^3(36/12x^2-1y^3-3 -24/12x^1-1y^4-3)

=12xy^3(3x -2y).

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Ejemplo y definición de Álgebra

ClicAqui:https://nataliemaldonado.com/afiliados Ejemplo:

El álgebra  es la parte de la matemática  que estudia la cantidad conciderada del modo más general posible.En aritmética la cantidades se representa por  número y estos expresan valores determinados,en álgebra las cantidades se representan  por medio de letras las cuales pueden presentar  todos los valores. Los símbolos usados en Álgebra  se representan por números  y letras.

Expresiones algebraicas

 Es la combinación de signo de operación  (+,-,×,...,de relación =, <,>, y de agrupación  (), [], {},con signos numéricos y literales y cada factor se denomina término.

Grado de un término  

El grado de un término se establece mediante la suma de todos los exponentes de las Partes lineales se conoce con el nombre de  grado absoluto.
El grado relativo se presenta  respecto a una letra dado por el exponente literal.

Ejemplo:

9x^3y^2z

Grado relativo

Respecto a x,3
Respecto a y,2
Respecto a z,1

 Clasificación  de las Expresiones  Algebraica

La expresión  algebraica puede tener uno o varios  términos, los cuales se distinguen por están separados únicamente  por los signos positivo y negativo, que hacen parte del termino,siempre que no se encuentre de to de signo de agrupación.

Ejemplo:

-7x + 9 la  cual tienen dos terminos

Monomios

 La expresión  algebraica  esta formado por un solo termino.

Ejemplo:

5y, -6b ,x, x/y^3

Adición

Si los términos son iguales pero los exponentes  no, la operación se deja indicada.

Ejemplo:

9x^6,3x = 9x^6 + 2x

Sustracción

Se  suma el minuendo con el opuesto del sustraendo,siempre y cuando sean términos semejantes.

Ejemplo:

-5x^3,-2x^3

(-5x^3) - (-2x^3)

=(-5x^3) + (2x^3)

=(-5+2)x^3

=-3x^3

Si los términos  son iguales pero los exponentes no, la operación se deja indicada.

Ejemplo:

-9x^6,-3x =( -9x^6 )- (-2x)

Multiplicación

Ejemplo:

-5x^4y^3,2x^4y

(-5x^4y^3) × (2x^4y)

=(-5)×(2) = -10

(x^4y^3)(x^4y) =x^8y^4

(-5x^4y^3) (2x^4y) =-10x^8y^4

División

Para dividir lo hacemos de la siguiente forma :

Ejemplo:

(-9x^4y^3), (3x^4y^2z)

Primero efectuamos la operación


(-9x^4y^3) ÷ (3x^4y^2z)

Dividimos  la parte numérica y aplicamos la regla de los signos

=(-9) ÷(3) = -3

Dividimos la parte literal usando las propiedades de la potencia

=(x^4y^3) - (x^4y^2z)

=x^0y^1c = yz


-9x^4y^3) ÷(3x^4y^2z) =-3yz


Binomios

En esta expresión existen dos términos.
-9x+5y,√x+y

Trinomio

En esta expresión se presentan tres terminos.

6x-3y+8z,x + y + z

Polinomios

Esta formada por más  de un termino,separados por términos positivos o negativos,y usando los demás  signos como conectores.

                        5x,-6y,x,x/y

Ejemplo y definición de números racionales

Los números racionales son aquellos que tienen la forma a/b,donde a y b son número enteros, y b es diferente de cero. La cual se diferencia por la letra Q.

Operaciones con números  racionales 

Adición

La suma de radicales dependiendo del de los números que tenga en el denominador,puede presentarse 2 casos que sean igual o distinto del denominador.

1-Para sumar  los racionales con igual denominador,se suman los numeradores y se deja el mismo denominador,si es posible simplificados el resultado.

Ejemplo:

3/7 + 5/7 + 9/7

=3 + 5 + 9/7 =16/7

2-Si queremos sumar con distinto denominador primero encontramos el mínimo común múltiplo (M.C.M) y luego se realiza la suma entre los numeradores, y nos quedamos con el denominador  comun.

Ejemplo:

9/15 + 7/30

=  15 = 5×3            30 = 15 × 2
          =1×5                  =   5 × 3
          = 1                      =   1× 5
                                     =   1

2×3×5 =30

9/15 = 9×2/15 ×2 =18/30

Entonces me queda

18/30 + 7/30 = 25/30 = 5/6


Propiedades  de la adición  de racionales 

Clausurativa:la suma de dos o más racionales es otro racional.

Ejemplo:

a + b = c

2/3 + 5/3 = 8/3

Conmutatíva: el orden  de los factores no altera el resultado.

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Ejemplo:


a + b = b + a

2/3 + 5/3 =  5/3 +2/3

Modulativa:a todo número que se le sume cero,el resultado es el mismo número.

Ejemplo:

4/9 + 0 =  4/9

Asociativa:  la diferencia  de asociaciones  no altera el resultado.

Ejemplo:

a + (b + c) = (a + b) + c


2/3 +( 5/3 + 7/3)=  (5/3 +2/3) + 7/3


Ivertiva:la suma de un número  entero con su inverso  siempre da cero.

Ejemplo:

+ a - b = 0

+2/3 - 2/3 =  0

Sustracción

Las fracciones  con igual denominador se resta y las que tienen diferentes  denominadores  se  le busca el mínimo común múltiplo  (M.C.M) y conservar el denominador  comun.

Ejemplo:

Para la resta con igual denominador

3/7 - 5/7 - 9/7

=3 - 5 - 9/7 =-11/7

Para la resta con diferentes denominadores.

9/15 - 7/30

=  15 = 5×3            30 = 15 × 2
          =1×5                  =   5 × 3
          = 1                      =   1× 5
                                     =   1

2×3×5 =30

9/15 = 9×2/15 ×2 =18/30

Entonces me queda

18/30 - 7/30 = 11/30 = 5/6


Multiplicación

Multiplicamos  numerador  con numerador y denominador con denominador, y luego simplifamos  los resultados.

Ejemplo:

9/15  × 7/30 = 9×7/ 15 × 30 = 63/450

Para las propiedades  de la multiplicación se cumplen las misma que la de la suma, la comutativa,asociativa,clausurativa,modulativa  e invertiva.

División

Se multiplica el numerador racional por el inverso del radicar divisor.

Ejemplo:

a/b ÷ c/d = a/b ÷ d/c


9/5 ÷ 1/2

= 9/5 ÷ 2/1

= 9×2/5×1

=18/5

Ejemplo y definición de los Números Fraccionarios

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Los números  fraccionarios son los que expresan una o varias partes iguales de la unidad principal.Son los números  que tienen la forma a/b,donde a y b son números  naturales,diferentes de cero.

Operaciones entre fraccionarios 

 Las operaciones que se pueden efectuar con los números  fraccionarios  son la adición, Sustracción, multiplicación  y división.


La Adición o Suma

Se multiplican  los numeradores por los denominadores en forma cruzada y se suman los productos dandonos el numerador.

De la multiplicación de los denominadores hallamos el conciente  y simplifamos lo más que se pueda.

Ejemplo:

2/3 + 1/4

 = (2×4) + (3×1)/ 3×4

= 8+3 / 12

= 11/12

Sustracción o resta 

Se multiplica el numerador  por el denominador  de forma cruzada  y luego se restan los dos productos dandonos el  numerador de la multiplicación  de los denominadores  hallamos el conciente.

Ejemplos:

2/3 - 1/4

 = (2×4) - (3×1)/ 3×4

= 8-3 / 12

= 5/12

La multiplicación 


Multiplicamos los numeradores entre sí y los  denominadores.

Ejemplos:

2/3 × 1/4

 = 2×1/3×4

=2/12 = 1/6

La División 

En la división  se multiplica el numerador de la primera fracción  y el denominador de la  segunda y el denominador del segundo  y el numerador  del primero.

Ejemplos:

2/3 ÷ 1/4

=2×1/3×4

=3/12 =1/4

Todos estos ejemplos te ayudarán a mejorar tu desempeño en esta área  de la matemáticas.Practicar mucho.

Ejemplo y definición de los Números Primos

Los números  primos  son aquellos que son divisibles por ellos mismos y por 1.Ejemplos:2,3,5,11,17,31,53,59,61,67,,71,73...

Esa serie de números  es ilimidado, siempre hay otro número mayor no importa que tan grande sea.

Factores Primos

Es  la descomposición  de un número  en factores  Primos y convertirlo en un  producto de números primos.

Ejemplo:

64 = 32 × 2
     = 16 × 2
     =   8 × 2
     =   4 × 2
     =   2 × 2
     =  1

64 = 2×2×2×2×2


15 = 5 × 3
     =  1 × 5
     =  1

15 = 3×5×1 = 15


Máximo  Común Divisor (M.C.D)

El máximo  común  Divisor de dos o más números es el número  mayor que lo divide a todos.

Para hallar el máximo  común  Divisor  se descomponen en sus factores Primos y después se calcula el máximo  común  divisor  que es igual  al producto de todos los valores  primos comunes con el menor exponente.

Ejemplo:

Encontrar el M.C.D de ( 960,1,200)

960 = 480 × 2                   1,200 = 600 × 2
       =  240 × 2                             = 300 × 2
       =  120 × 2                             = 150 × 2
       =    60 × 2                              =  75 × 2
       =    30 × 2                              =  25 × 3
       =    15 × 2                               =  5  × 5 
       =      5 × 3                                =  1  × 5
       =      1 × 5                                = 1
       =      1


960 = 2^6 . 3. 5

1,200 = 2^4 .3 .5^2

Tomamos los ratones primos con el menor exponente.

M.C.D = 2^4 . 3 .5 = 240


 Mínimo Común  Múltiplo (M.C.M)

Es menor número  que contiene cada uno de ello.

Para calcular el mínimo  común  múltiplos lo  descomponemos  en sus factores primos, Luego calculamos  el mínimo común múltiplo multiplicando los comunes y no comunes elevandolo al mayor exponente.

Ejemplo:

M.C.M ( 30,40,66)

30 = 15 × 2    40 = 20 × 2       66 = 33 × 2
     =   5 × 3          = 10 × 2            = 11 × 3
     =   1 × 5          =   5 × 2            =   1 × 11
     =   1                 =  1 × 5            =   1
                              = 1

30 = 2.3.5

40 = 2^3.5

66 = 2.3.11

M.C.M = 2^3 . 3 .5 .11 = 1320

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